Sistemas de ecuaciones lineales: nivel avanzado

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1.

Antes de aplicar la regla de Cramer a un sistema cuadrado, ¿qué verificación debe hacerse primero sobre la matriz de coeficientes $A$ ?

Comprobar que la suma de los términos independientes sea cero
Calcular $det (A)$ y verificar que sea distinto de cero
Reducir siempre el sistema a forma escalonada reducida
Verificar que todas las ecuaciones tengan coeficiente principal igual a 1

Respuesta correcta:

Calcular $det (A)$ y verificar que sea distinto de cero

2.

Si en un sistema lineal cuadrado se cumple $det (A) \neq 0$ , entonces el sistema es:

Compatible determinado
Compatible indeterminado
Incompatible

Respuesta correcta:

Compatible determinado

3.

Según el teorema de Rouché-Frobenius, un sistema es compatible si y solo si:

$det (A) = 0$
El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas
$rg (A) = rg (A^{*})$
La matriz ampliada tiene determinante distinto de cero

Respuesta correcta:

$rg (A) = rg (A^{*})$

4.

Considera el sistema

{\begin{matrix} 2 x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{matrix}

La matriz de coeficientes es

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})

. ¿Cuál es

det (A)

$- 3$
3
$- 1$
1

Respuesta correcta:

$- 3$

5.

En un sistema de $3$ incógnitas, si $rg (A) = rg (A^{*}) = 2$ , entonces el sistema es:

Incompatible
Compatible determinado
Compatible indeterminado con una variable libre
Compatible indeterminado con dos variables libres

Respuesta correcta:

Compatible indeterminado con una variable libre

6.

Sea el sistema

{\begin{matrix} x + y = 2 \\ 2 x + 2 y = 4 \end{matrix}

¿Cuál es su clasificación correcta?

Compatible determinado
Incompatible
Compatible indeterminado
No se puede clasificar sin resolverlo completamente

Respuesta correcta:

Compatible indeterminado

7.

Sea el sistema

{\begin{matrix} x + y = 2 \\ 2 x + 2 y = 5 \end{matrix}

¿Qué ocurre con este sistema?

Tiene una única solución
Tiene infinitas soluciones
Es incompatible
Tiene exactamente dos soluciones

Respuesta correcta:

Es incompatible

8.

Aplica la regla de Cramer al sistema

{\begin{matrix} 2 x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{matrix}

¿Cuál es el valor de

x

Respuesta correcta:

9.

Para el mismo sistema

{\begin{matrix} 2 x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{matrix}

¿Cuál es el valor de

y

Respuesta correcta:

10.

Sea

A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \end{matrix})

¿Cuál es

det (A)

3
6
$- 6$
12

Respuesta correcta:

11.

En un sistema lineal con $4$ incógnitas, si $rg (A) = rg (A^{*}) = 4$ , entonces:

Tiene infinitas soluciones
No tiene solución
Tiene una única solución
Tiene exactamente cuatro soluciones

Respuesta correcta:

Tiene una única solución

12.

Considera el sistema con parámetro $k$ :

{\begin{matrix} x + y = 1 \\ 2 x + 2 y = k \end{matrix}

¿Para qué valor de

k

el sistema es compatible indeterminado?

$k = 1$
$k = 2$
$k = 0$
Para todo $k$

Respuesta correcta:

$k = 2$

13.

En el sistema con parámetro

{\begin{matrix} x + y = 1 \\ 2 x + 2 y = k \end{matrix}

¿Para qué valores de

k

el sistema es incompatible?

Solo para $k = 2$
Para todo $k \neq 2$
Solo para $k = 0$
Nunca es incompatible

Respuesta correcta:

Para todo $k \neq 2$

14.

Sea el sistema

{\begin{matrix} x + y + z = 3 \\ 2 x + 2 y + 2 z = 6 \\ x - y + z = 1 \end{matrix}

¿Cuál es la clasificación más adecuada?

Compatible determinado
Incompatible
Compatible indeterminado
No lineal

Respuesta correcta:

Compatible indeterminado

15.

Si al escalonar un sistema se obtiene una fila de la forma

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 ∣ 5 \end{matrix}),

entonces se concluye que el sistema es:

Compatible determinado
Compatible indeterminado
Incompatible
Homogéneo

Respuesta correcta:

Incompatible

16.

En un sistema homogéneo $A 𝐱 = 0$ con $3$ incógnitas, si $det (A) \neq 0$ , la solución es:

Infinitas soluciones no triviales
Solo la solución trivial
Ninguna solución
Dos soluciones linealmente independientes

Respuesta correcta:

Solo la solución trivial

17.

Sea el sistema

{\begin{matrix} x + 2 y - z = 1 \\ 2 x - y + 3 z = 9 \\ 3 x + y + 2 z = 8 \end{matrix}

Después de verificar que

det (A) \neq 0

, ¿qué expresión da correctamente

z

por la regla de Cramer?

$z = \frac{det (A_{z})}{det (A)}$
$z = \frac{det (A)}{det (A_{z})}$
$z = det (A_{z}) - det (A)$
$z = det (A_{z}) det (A)$

Respuesta correcta:

$z = \frac{det (A_{z})}{det (A)}$

18.

Desde una interpretación geométrica en $ℝ^{3}$ , un sistema de tres ecuaciones lineales compatible indeterminado puede representar:

Tres planos que se cortan en un único punto
Tres planos sin intersección común
Tres planos cuya intersección común es una recta
Un plano y dos circunferencias

Respuesta correcta:

Tres planos cuya intersección común es una recta

19.

Sea el sistema con parámetro $m$ :

{\begin{matrix} x + y = 2 \\ m x + y = 3 \end{matrix}

¿Para qué valor de

m

no se puede aplicar directamente la regla de Cramer?

$m = 0$
$m = 1$
$m = 2$
$m = 3$

Respuesta correcta:

$m = 1$

20.

Considera el sistema con parámetro $a$ :

{\begin{matrix} x + y + z = 1 \\ 2 x + a y + 2 z = 2 \\ 3 x + 3 y + 3 z = 3 \end{matrix}

¿Cuál es la clasificación correcta según el valor de

a

Compatible determinado para todo $a$
Compatible indeterminado para todo $a$
Compatible indeterminado si $a = 2$ e incompatible si $a \neq 2$
Incompatible si $a = 2$ y compatible determinado si $a \neq 2$

Respuesta correcta:

Compatible indeterminado si $a = 2$ e incompatible si $a \neq 2$

Respuestas

B.
Calcular $det (A)$ y verificar que sea distinto de cero
A.
Compatible determinado
C.
$rg (A) = rg (A^{*})$
A.
$- 3$
C.
Compatible indeterminado con una variable libre
C.
Compatible indeterminado
C.
Es incompatible
C.
3
A.
1
A.
3
C.
Tiene una única solución
B.
$k = 2$
B.
Para todo $k \neq 2$
C.
Compatible indeterminado
C.
Incompatible
B.
Solo la solución trivial
A.
$z = \frac{det (A_{z})}{det (A)}$
C.
Tres planos cuya intersección común es una recta
B.
$m = 1$
C.
Compatible indeterminado si $a = 2$ e incompatible si $a \neq 2$